ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ...ΜΕΛΙΣΣΩΝ

Είναι λίγο μεγαλούτσικο αλλά πιστεύω ότι αξίζει τον κόπο...

Εισαγωγή
Ίσως ο τίτλος να ηχεί παράξενα. Θα μπορούσε να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Είναι δυνατόν οι μέλισσες να κάνουν μαθηματικούς υπολογισμούς;
Εκείνοι που ασχολούνται ερασιτεχνικά ή επαγγελματικά με το θαυμάσιο αυτό χόμπι της μελισσοκομίας έχουν να παρατηρήσουν θαυμαστά πράγματα και καταστάσεις που συμβαίνουν στην σχεδόν άριστα οργανωμένη κοινωνία των μελισσών. Στα επόμενα θα δούμε ότι οι κοινωνικές δομές με τις οποίες είναι συγκροτημένη μια κυψέλη συνοδεύονται και από ένα μαθηματικό κατόρθωμα.

Τα ερωτήματα
Οι περισσότεροι από εμάς γνωρίζουν ότι τα κελιά των κυψελών είναι κανονικά εξάγωνα. Τρία είναι τα βασικά ερωτήματα που θα μπορούσαν να μας απασχολήσουν από μαθηματική άποψη.

α) Γιατί η μέλισσα κατασκευάζει τι κελί της σε σχήμα κανονικού εξαγώνου (για την ακρίβεια κανονικού εξαγωνικού πρίσματος); Θα μπορούσε ενδεχομένως να χρησιμοποιήσει και άλλα σχήματα; (Υπενθυμίζεται ότι ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές μεταξύ τους ίσες και όλες τις γωνίες επίσης μεταξύ τους ίσες,όπως για παράδειγμα το τετράγωνο)

β) Εξυπηρετεί το κανονικό εξαγωνικό πρίσμα την οικονομία του χώρου;

γ) Είναι η κατασκευή αυτή και η πιο οικονομική σε πρώτη ύλη (κερί);

Να πούμε κατ’ αρχάς ότι η σταθερότητα της κατασκευής επιβάλλει τη χρήση συμμετρικού σχήματος. Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι τα σχήματα που έχουν συμμετρία ως προς κέντρο μπορούν να σχηματίσουν πολύ πιο σταθερές κατασκευές από ένα αντίστοιχο μη συμμετρικό. Έτσι, η χρήση πρισμάτων με βάσεις κανονικά πολύγωνα ή έστω κυλίνδρου φαίνεται να αποτελεί τη μόνη λύση. Γιατί όμως κανονικό εξάγωνο και όχι τετράγωνο ή κανονικό οκτάγωνο ή έστω κύκλος; Στο σημείο αυτό να αναφέρουμε ότι υπάρχει ένα είδος μελισσών στη Νότια Αμερική που κατασκευάζει κυκλικά κελιά. Είναι άραγε οι νοτιαμερικανές μέλισσες πιο «έξυπνες» από τις δικές μας; Η άμεση απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι η εξής: Αν το πρόβλημα ήταν δύο διαστάσεων, δηλαδή αν το κελί δεν είχε βάθος τότε πράγματι οι νοτιαμερικανές μέλισσες θα ήταν εξυπνότερες από τις ελληνίδες ή έστω τις ευρωπαίες. Διότι, όπως είναι γνωστό, από όλα τα συμμετρικά σχήματα με σταθερή περίμετρο το μεγαλύτερο εμβαδόν κατέχει ο κύκλος. Τα παραπάνω ερωτήματα όμως δείχνουν ότι το πρόβλημα δεν είναι μόνο θέμα εμβαδού αλλά και χώρου και μάζας (ύλης).

Οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα
Ερώτημα (α): Γιατί κανονικό εξάγωνο; Η οικονομία του χώρου απαιτεί την κάλυψη του επιπέδου χωρίς κενά ανάμεσα στα σχήματα. Τα κανονικά πολύγωνα δηλαδή που φιλοδοξούν να καλύψουν το επίπεδο (τελάρο), γύρω από κάθε κορυφή τους πρέπει να μην αφήνουν κενά. Με άλλα λόγια το άθροισμα των γωνιών γύρω από μια κορυφή πρέπει να είναι 360ο. Με απλούς υπολογισμούς μπορεί να δει κανείς ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Γιατί επέλεξαν όμως το κανονικό εξάγωνο και όχι για παράδειγμα το τετράγωνο; Διότι μεταξύ ενός τετραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου με την ίδια περίμετρο το εξάγωνο καταλαμβάνει μεγαλύτερο εμβαδόν, με άλλα λόγια αποθήκευση περισσότερου μελιού. Θα αναρωτηθεί κανείς και γιατί να μη διαλέξουν τον κύκλο. Είπαμε όμως παραπάνω ότι το πρόβλημα δεν είναι δύο διαστάσεων.

Ερώτημα (β): Οικονομία του χώρου. Οι μικρές μέλισσες όσο και οι μεγάλες, οι οποίες πρέπει να βρουν χώρο στη φωλιά τους, μοιάζουν κατά προσέγγιση με ένα μικρό κύλινδρο. Το γεγονός αυτό αλλά και η σταθερότητα της κατασκευής παραπέμπουν πιθανόν σε μια κυλινδρική κατασκευή των κελιών, οπότε και οι νοτιαμερικανές μέλισσες θα ήταν και εξυπνότερες. Αποδεικνύεται όμως ότι κυλινδρική κατασκευή των κελιών θα ήταν υπέρβαρη με αποτέλεσμα το κεντρικό κελί από το βάρος των υπερκείμενων να τείνει να «παραμορφωθεί» σε εξάγωνο. Εκτός αυτού αποδεικνύεται ότι η κάλυψη ενός συγκεκριμένου τελάρου με κανονικά εξαγωνικά πρίσματα έχει πολύ καλύτερη οικονομία χώρου από την κάλυψη του ίδιο τελάρου με κυλίνδρους.

Ερώτημα (γ): Οικονομία σε πρώτη ύλη. Θεωρούμε την εγκάρσια διατομή ενός κελιού που μπορεί να είναι, όπως είπαμε αρχικά, κύκλος ή κανονικό εξάγωνο ή τετράγωνο ή ισόπλευρο τρίγωνο. Επειδή υπάρχει αναλογία μεταξύ των περιμέτρων των σχημάτων αυτών και της αντίστοιχης κυλινδρικής ή πρισματικής επιφάνειας αρκεί να μπορούμε να συγκρίνουμε το υλικό που θα χρειαστεί για την κατασκευή των κελιών αυτών σαν να μην είχαν βάθος, δηλαδή το υλικό που απαιτείται για την κατασκευή της περιμέτρου των παραπάνω κανονικών πολυγώνων και του κύκλου. Με υπολογισμούς μπορεί να δει κανείς ότι για δεδομένο αριθμό κελιών οι κυψέλες εξαγωνικού πρίσματος μας προσφέρουν μεγαλύτερη οικονομία σε πρώτη ύλη (κερί) αλλά και σε εργασία.

Συμπεράσμα
Να λοιπόν που το εξαγωνικό πρίσμα των κελιών των μελισσών μεγιστοποιεί τον περικλειόμενο χώρο, προσφέρει δηλαδή περισσότερο μέλι, κα ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί την ποσότητα πρώτης ύλης (κεριού) που απαιτείται για την κατασκευή.
Στην ουσία οι μέλισσες έλυσαν με αξιοθαύμαστο τρόπο ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα. Τι σχήμα πρέπει να πάρει δηλαδή μια δεδομένη ποσότητα ύλης ώστε:
1) Να έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα
2) Να διαθέτει τη μεγαλύτερη δυνατή σταθερότητα
3) Να καταλαμβάνει το μικρότερο δυνατό χώρο
4) Να προϋποθέτει τη λιγότερη εργασία (κόπο) για την κατασκευή του.
Μετά από όλα αυτά τι λέτε. Έχουν τέτοια ευχέρεια οι μέλισσες στους μαθηματικούς υπολογισμούς ή όλα τα παραπάνω είναι αποτέλεσμα «τύχης».

Και ένα άλλο αξιοθαύμαστο γεγονός
Όπως είναι γνωστό, οι μέλισσες εάν ανακαλύψουν μια πλούσια πηγή από νέκταρ μακριά από τη φωλιά τους, τότε στήνουν ένα ρυθμικό χορό σε σχήμα του μαθηματικού απείρου (∞) για να ειδοποιήσουν και τις υπόλοιπες. Στο παραπάνω σχήμα δίνουν τέτοια κλίση ώστε η γωνία του μεγάλου άξονα του σχήματος αυτού με την κατακόρυφο να είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες πρόσπτωσης του Ήλιου με την ευθεία που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση από την κυψέλη μέχρι την τροφή που ανακάλυψαν. Μη μου πείτε ότι ο αξιοθαύμαστος αυτός τρόπος επικοινωνίας των μελισσών δε θα μπορούσε να είναι αντικείμενο διδακτορικής διατριβής από μαθηματική άποψη και όχι μόνο    ;                                                     από Antonios Antoniou

Βιβλιογραφία:
Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄», έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 1989, τ. Σεπτ.- Οκτ.
Le Roy C. Dalton, “Algebra in the ral word” Dale Saymour publications, 1983.
Hofer, Alan, “Teacher’s guid for Math in nature posters”, Creative publications, Inv., 1978.    φωτοhttps://blogs.futura-sciences.com